Puntos Flotantes

Punto Fijo y Punto Flotante Lamentablemente no todos los números son enteros, así surgen representaciones binarias con una, dos, tres o más dígitos (bits) fraccionarios según la necesidad. La llamada Notación en Punto Fijo resuelve ese problema, por ejemplo un formato podría ser: 

1101001,101 

en este caso disponemos de 10 bits para representar el número de los cuales 7 son enteros y 3 fraccionarios. Al construir un Sistema Digital debemos fijar el mismo formato para todos los números. Además en las ciencias es usual la necesidad de representar números muy pequeños y a la vez números muy grandes. Con una cantidad limitada de dígitos resulta imposible abarcar un amplio rango de cantidades sin usar la llamada Notación en Punto Flotante. Esta Notación, muy similar a la Notación Científica, divide al número en tres campos, a saber:

 

- Signo de la Mantisa 

- Exponente: Signo del Exponente Mantisa del Exponente 

- Mantisa

 

Signo de la Mantisa (S): Es un campo de 1 bit. 

0 positivo ( + ) 

1 negativo ( - ) 

Exponente (E) :Es un campo de varios bits con la Convención Exceso 2n-1, por ejemplo 

el Exceso 64 (7 bits) y el Exceso 128 (8 bits). 

Mantisa(M) :Es un campo de varios bits fraccionarios. Para que el número esté normalizado, el bit más significativo debe ser 1, es decir que la mantisa debe ser mayor o igual a 1/2 y menor que 1.

 

Las operaciones aritméticas con números en punto flotante tienen ciertas particularidades. Sean S1E1M1 y S2E2M2 dos números en punto flotante normalizados y en Exceso 64. 

 

Multiplicación: El producto de los dos números será SpEpMp, donde: 

Signo de la mantisa Sp = 0 si S1 = S2 Sp = 1 si S1 | S2 

Exponente Ep = E1 + E2 - 64 - K,

 siendo K el valor que satisface 1/2 <= M1 x M2 x 2K < 1 

Mantisa Mp = M1 x M2 x 2K 

División: La división de los dos números será SdEdMd, donde:

 Signo de la mantisa Sd = 0 si S1 = S2 Sd = 1 si S1 | S2 

Exponente Ed = E1 - E2 + 64 - K, siendo K el valor que satisface 1/2 <= (M1 / M2) 2K < 1 

Mantisa Md = (M1 / M2) 2K 

Suma y resta Para sumar o restar los dos números debemos igualar sus exponentes. Debido a que los exponentes están en Exceso y en esta convención menores números se corresponden con menores combinaciones binarias absolutas, la comparación es muy sencilla. Supongamos que: 

E1 > E2

 Entonces encontramos j, tal que j = E1 - E2 

Modificamos S2E2M2 a fin de igualar los exponentes: 

S2(E2 + j)M2/2j

 Procedemos a sumar o restar las mantisas según sea el caso. El resultado debe ser luego normalizado como se expuso en la división y el producto. 

Base de Exponenciación: A fin de aumentar el rango de representación la base de exponenciación en vez de 2 puede ser 4, 8 o 16. Por ejemplo si en una representación en punto flotante la base de exponenciación es 8, la mantisa debe interpretarse en Octal (grupos de 3 bits partiendo desde la coma hacia la derecha). La normalización en estos casos se entiende cuando el dígito más significativo (grupo de tres bits) de la mantisa no es cero.

 

Norma IEEE 754:

A fin de estandarizar la representación en punto flotante el IEEE dictó la Norma 754 (1985) la cual es respetada actualmente por la mayoría de los fabricantes de procesadores. 

-  Esta norma establece tres tipos de representación:

simple precisión (32bits)
1 bit	8 bits	23bits
Doble precisión(64bits)
1bit	11bits	54bits
Precisión extendida(80 bits)
1bit	15bits	64bits

 

-Los exponentes mínimo y máximo se utilizan para casos especiales: Ya que las mantisas normalizadas siempre empiezan con 1, no es necesario almacenarlo y la coma implícita se coloca a la derecha del 1, entonces la mantisa, ahora llamada significando, es mayor o igual a 1 y menor que 2.

-Se consideran 5 clases de números, a saber:

1.Normalizados
(+/-)	0<E<Máximo	cualquier patron de bits
2.Desnormalizados(el bit 1 a la izquierda de la coma del significado, ahora es 0)
(+/-)	0	Cualquier patrón de bits excepto cero
3.Cero(el bit 1 a la izquierda de la coma del significado, ahora es 0)
(+/-)	0	0
4.Infinito
(+/-)	1111….11111111	0
5.No numero(Indica el cociente Infinito/Infinito)
(+/-)	1111….11111111	Cualquier patrón de bits excepto cero

- https://www1.frm.utn.edu.ar/arquitectura/unidad1.pdf